Найдите экстремумы функции : f (x) = x^2 — 4x

Найдите экстремумы функции : f (x) = x^2 — 4x

1 ответ

  1. Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную и приравняем ее нулю:
    f (x) = x² — 4 * x;
    f ‘ (x) = (x² — 4 * x) ‘ = 2 * х — 4;
    2 * х — 4 = 0;
    2 * х = 4;
    х = 4/2 = 2.
    Подставим полученное значение х и найдем соответствующее ей значение функции:
    f (x) = x² — 4 * x = 2² — 4 * 2 = 4 — 8 = — 4;
    Теперь проверим как меняется знак производной в этой точке, для этого возьмем значения х меньше и больше 2-х. При смене знака производной изменяет с минуса на плюс будем иметь дело с минимумом, с плюса на минус — с максимумом:
    f ‘ (0) = 2 * х — 4 = 2 * 0 — 4 = — 4;
    f ‘ (3) = 2 * х — 4 = 2 * 3 — 4 = 2.
    Знак производной меняется с минуса на плюс, значит имеем дело с минимумом, который находится в точке (2; — 4).
    Всего этого можно было и не считать, достаточно было проанализировать данную функцию. Функция квадратичная, значит график ее — парабола, ветви которой направлены вверх, так как первый коэффициент (при х²) больше нуля. Если ветви параболы идут вверх, то ее единственный экстремум, одновременно являющийся минимумом — это вершина параболы, которую можно найти по формуле:
    x = — b / (2 * a) = 4 / (2 * 1) = 2;
    f (x) = x² — 4 * x = 2² — 4 * 2 = 4 — 8 = — 4;
    Ответ: Получили ту же точку (2; — 4).

Ответить

Ответить

Похожие вопросы